|
NEW PROPOSALS IN MICROSOUND STRUCTURE
'" FOURIER SERIES-BASIC IMPORTANCE AND INADEQUACY The physico-mathematical apparatus of acoustics 1 is plunged into the theories of energy propagation in an clastic medium, in which harmonic analysis is the cornerstone. The same apparatus finds in the units of
electronic circuit design the practical medium where it is realized and
checked. The prodigious de\"elopment of radio and TV transmissions has
expanded the Fourier harmonic analysis to very broad and heterogeneous
domains. Other theories, quite far apart, e.g.,
servomechanisms and probability, find necessary backing in Fourier series. In music ancient traditions of scales, as
well as those of string and pipe resonances, also lead to circular functions
and their linear combinations.2 In consequence, any attempt to produce a
sound artificially could not be conceived outside the framework of the above
physico-mathematical and electronic apparatus, which relies on Fourier
series. Indeed the long route traversed by the
acousmatics of the Pythagoreans seemed to have found its natural bed. Musical
theoreticians did base their theories on Fourier, more or less directly, in
order to support the argument about the natural harmony of tonality.
Moreover, in defining tonality, the 20th-century deprecators of the new
musical languages based their arguments on the theory of vibration of elastic
bodies and media, that is, in the end, on Fourier analysis. But they were thus
creating a paradox, for although they wanted to keep music in the intuitive
and instinctive domain, in order to legitimatize the tonal universe they made
use of physicomathematical arguments! The Impasse of Harmonic Analysis and Some
Reasons Two major difficulties compel us to think
in another way: 1.The defeat by the thrust of the new
languages of the theory according to which harmony, counterpoint, etc., must
stem, just from the basis formed by circular functions. E.g., how can we justify such harmonic
configurations of recent instrumental or electro-acoustic music as a cloud of
ghdmg sounds? Thus, harmonic analysis has been short-circuited in spite of
touching attempts like Hindemith's explanation of Schoenberg's system (3). Life and sound adventures jostle the
traditional theses which are nevertheless still being taught in the
conservatories (rudimen;allv of course). It is therefore natural to think that the
disruptions in music i~ 'the last 60 years tend to prove once again that
music and its "rules" are sociocultural and historical
conditionings, and hence modifiable. These conditions seem to be based
roughly on a. the absolute limits of our senses and
their deforming power (e.g., Fletcher contours); b. our canvass of mental structures, some
of which were treated in the preceding chapters (ordering, groups, etc.); c. the means of sound production
(orchestral instruments electro-ac~u:tic sound synthesis, storage and
transformation analogu~ systems, dIgItal sound synthesis with computers and
digital to analogue converters). If we modify anyone of these three points,
our socio-cultural conditioning will also tend to change in spite of an
obvious inertia inherent in a sort of "entropy" of the social
facts. 2. The obvious failure, since the birth of
oscillating circuits in electronics, to reconstitute any sound, even the
simple sounds of some orchestral instruments! a. The Trautoniums, Theremins, and
Martenots, all pre World War II attempts, prove it. b. Since the war, all
"electronic" music has also failed, in spite of the big hopes of
the fifties, to pull electro-acoustic music out of its cradle of the
so-called electronic pure sounds produced by frequency generators. Any
electronic music based on such sounds only, is marked by their simplistic
sonority, which resembles radio atmospherics or heterodyning. The serial
system, which has been used so much by electronic music composers, could not
by any means improve the result, since it itself is much too elementary. Only
when the "pure" electronic sounds were framed by other
"concrete" sounds, which were much richer and much more interesting
(thanks to E. Varese, Pierre Schaeffer, and Pierre Henry), could electronic
music become really powerful. c. The most recent attempts to use the
flower of modern technology, computers coupled to converters, have shown that
in spite of some relative successes,4 the sonorous results are even less
interesting than those made ten years ago in the classic electro-acoustic
studios by means of frequency generators, filters, modulators, and
reverberation units. In line with these critiques, what are the
causes of these failures? In my opinion the following are some of them: 1. Meyer-Eppler's studies 5 have shown that
the spectral analysis of even the simplest orchestral sounds (they will form
a reference system for a long time to come) presents variations of spectral
lines in frequency as well as in amplitude. But these tiny (second order)
variations are among those that make the difference between a lifeless sound
made up of a sum of harmonics produced by a frequency generator and a sound
of the same sum of harmonics played on an orchestral instrument. These tiny
variations, which take place in the permanent, stationary part of a sound, would
certainly require new theories of approach, using another functional basis
and a harmonic analysis on a higher level, e.g., stochastic processes, Markov
chains, correlated or autocorrelated relations, or theses of pattern and form
recognition. Even so, analysis theories of orchestral sounds would result in
very long and complex calculations, so that if we had to simulate such an
orchestral sound from a computer and from harmonic analysis on a first level,
we would need a tremendous amount of computer time, which is impossible for
the moment. 2. It seems that the transient part of the
sound is far more important than the permanet\! part in timbre recognition
and in music in general. 7 Now, the more the music moves toward complex
sonorities close to "noise," the more numerous and complicated the
transients become, and the more their synthesis from trigonometric functions
becomes a mountain of difficulties, even more unacceptable to a computer than
the permanent states. It is as though we wanted to express a sinuous mountain
silhouette by using portions of circles. In fact, it is thousands of times
more complicated. The intelligent ear is infinitely demanding, and its
voracity for information is far from having been satisfied. This problem of a
considerable amount of calculation is comparable to the 19th-century
classical mechanics problem that led to the kinetic gas theory. 3. There is no pattern and form recognition
theory, dependent on harmonic analysis or not, that would enable us to
translate curves synthesized by means of trigonometric functions in the
perception of forms or configurations. For instance, it is impossible for us
to define equivalence classes of very diversified oscilloscope curves, which
the ear throws into the same bag. Furthermore, the ear makes no distinction
between things that actual acoustic theories differentiate (e.g., phase
differences, differential sensitivity ability), and vice versa. The Wrong Concept of Juxtaposing Finite
Elements Perhaps the ultimate reason for such difficulties
lies in the improvised entanglement of notions of finity and infinity. For
example, in sinusoidal oscillation there is a unit element, the variation
included in NEW PROPOSAL IN MICROCOMPOSITION BASED ON
PROBABILITY DISTRIBUTIONS We shall raise the contradiction, and by
doing so we hope to open a new path in microsound synthesis research-one that
without pretending to be able to simulate already known sounds, wIll
nevertheless launch music, its psychophysiology, and acoustics in a direction
that is quite interesting and unexpected. Instead of starting from the unit element
concept and Its tireless IteratIOn and from the increasing irregular
superposition of such iterated unit elements we can start from a disorder
concept and then introduce means that would increase or reduce it. This is
like saying that we take the inverse road: We do not wish to construct a complex sound
edifice by using discontinuous unit elements (bricks = sine or other
functions); we wish to construct sounds with continuous variations that are
not made out of unit elements. This method would use stochastic variations of
the sound pressure directly. We can imagine the pressure variations produced
by a particle capriciously moving around equilibrium positions along the
pressure ordinate in a nondeterministic way. Therefore we can imagine the use
of any "random walk" or multiple combinations of them. Method 1. Every probability function is a
particular stochastic variation which has its own personality (personal behavior
of the particle). We shall then use anyone of them. They can be discontinuous
or continuous ; e.g., Poisson, exponential (ce- ex), normal, uniform, Cauchy
(t [7T(~2 ~ x2)], -I), arc sin (7T-I[x(l-x)] -1/2), logistic [(ae-ax-oHI
+e-ax-O) -I] dIstnbutlOns. Method 2. Combinations of a random variable
X with itself can be established. Example: IfJ(x) is the probability function
of X we can form Sn = XI + X2 + . , . + Xn (by means of the n-fold
convolution of J(x) with itself) or PK = XI' X2, , ,XK, or any linear,
polynomial, ... , function of the variable X. Method 3. The random variables (pressure,
time) can be functions of other variables (elastic forces), even of random
variables. Example: The pressure variable x is under the influence of a centrifugal
or centripetal force cp(x, t). For instance, if the particle (pressure) IS
mfluenced by a force wx (w being a constant) and also obeys a Wiener-Levy
process, then Its density will be qt(x,y) = (WI/2/[7T(1 - e-2wt)]-1/2) exp
[-w(y - xe-wt)2f(1 - r2wt)], where x and y are the values of the variable at
the instants 0 and t, respectively. (This is also known as the
Ornstein-Uhlenbeck process.) . Method 4. The random variable moves between
two reflectmg (elastIc) barriers. Example: If we again have a Wiener-Levy
process with two reflecting barriers at a > 0 and zero, then the density
of this random walk will be MICROSOUND STRUCTURES MICROSOUND STRUCTURES ±oo (217t)-1/2 L (exp [-(y
- x + 2ka)2/2t] "=0 + exp [ - (y + x +
2ka)2/2t]), n Xi + XJ + ... + X~i and sn( L S~i) i = 1 or where x and yare the values of the
variables at the instants 0 and t, respectively, and k = 0, ± 1, ± 2, .... Method 5. The parameters of a probability
function can be considered as variables of other probability functions
(randomization, mixtures). 9 n P:" = Xi'X~" . X:" and pn( n
P:,,) = p;1·r;2·· 'P~n' "~l Examples: a. t is the parameter of a Poisson
distributionf(k) = (at)"(k!) -Ie-at, and the random variable of the
exponential density g(t) = (3e-8to The combination is which is a geometric distribution. b. p and q are the probabilities of a
random walk with jumps ± I (Bernoulli distribution). The time intervals
between successive jumps are random variables with common density e-t
(Poisson distribution). Then the probability of the position n at instant
twill befn(t) = In(2typq)e-t(p/q)n!2, where Qt(x, f) = prob {X(T(t + s)) E flX(T(s)) =
x} 00 In(x) = L [A;!r(k + n + 1)]
-1(x/2)2"+n "=0 is the modified Bessel function of the
first kind of order n. Method 6. Linear, polynomial, ... ,
combinations of probability functions.h are considered as well as composite
functions (mixtures of a family of distributions, transformations in Banach
space subordination etc.). ' , a. If A and B are any pair of intervals on
the line, and Q(A, B) = pr?b {X E A, Y E B} with q(x, B) = prob {X = x, Y E
B} (q, under appropnate regularity conditions being a probability
distribution in B for a given x and a continuous function in x for a fixed B;
that is, a conditional probability of the event {Y E B}, given that X = x),
and J.'{A} is a probability distribution of X'E A, then Q(A, B) = t q(x,
B)J.'{dx} represents a mixture of the family of distributions q(X, B), which
depends on the parameter x, with J.' serving as the distribution of the
randomized parameter [30]. b. Interlocking probability distributions
(modulation). If fl,]2, ... , , fn are the probability distributions of the
random variables Xl X2 Xn,
respectively, then we can form ' , ... , or any combination (functional or
stochastic) of these sums and products. Furthermore, the ai and yk could be
generated by either independent determined functions, independent stochastic
processes, or interrelated determined or indetermined processes. In some of
these cases we would have the theory of renewal processes, if, for instance,
the ai were considered waiting times Ti. From another point of view, some of
these cases would also correspond to the time series analysis of statistics.
In reality, the ear seems to realize such an analysis when in a given sound
it recognizes the fundamental tone pitch together with timbre, fluctuation,
or casual irregularities of that sound! In fact, time series analysis should
have been invented by composers, if they had-. c. Subordination [30]. Suppose {X(t)}, a
Markovian process with continuous transition probabilities (stochastic kernel independent of s), and
{T(t)}, a process with nonnegative independent increments. Then {X ( T (t))) is
a Markov process with transition probabilities where Vt is the infinitely divisible
distribution of T(t). This Pt is said to be subordinated to {X (t)}, using
the operational time T(t) as the directing process. Method 7. The probability functions can be
filed into classes, that is, into parent curve configurations. These classes
are then considered as elements of higher order sets. The classification is
obtained through at least three kinds of criteria, which can be interrelated:
a. analytical source of derived probability distribution; gamma, beta, ... ,
and related densities, such as the density of X2 with n degrees of freedom
(Pearson); Student's t density; Maxwell's density; b. other mathematical
criteria, such as stability, infinite divisibility; and c. characteristic
features of the curve designs: at level 0, where the values of the random
variable are accepted as such; at levell, where their values are accumulated,
etc. Macrocomposition
Method
8. Further manipulations with classes of distributions envisaged by ~Iethod
7 introduce us to the domain of macrocomposition. But we ,;ill not continue
these speculations since many things that have been exposed in the preceding
chapters could be used fruitfully in obvious ways. For example, sound molecules
produced by the above methods could be injected into the ST(ochastic) program
of Chap. V, the program forming the macrostructure. The same could be said
about Chaps. II and III (~IarkO\'ian processes at a
macrolevel). As for Chaps. VI and VIII (symbolic music and group
organization) establishing a complex microprogram is not as easy, but it is
full of rich and unexpected possibilities. All of the above new proposals are being
investigated at the Centers for ~Iathematical and Automated Music
(CMAM) at both the School of ~Iusic of Indiana University,
Bloomington, Indiana, and the Nuclear Research Center of the College de
France, in Paris. Digital to analogue converters with 16 bits resolution at a
rate of 0.5,105 samples per second are available in both places. Figs.
IX, 1-8 were calculated and plotted at the Research Computing Center of
Indiana University under the supen'ision of Cornelia Colyer. These graphs
could correspond to a sound duration of 8 milliseconds, the ordinates being
the sound pressures. IIMathews, Max V. The Technology of
Computer ll1usic. Cambridge: M.LT, Press, 1969. tI2 I 13 1 Stevens, S. S., and Davis, H. Hearing.
New York: John Wiley and Sons, 1948', Beranek, Leo L. Acoustics. New York:
I\IcGraw-Hill, 1954. 2 Appelman, D. Ralph. The Science of Vocal Pedagogy. Bloomington :'lndiana
University Press, 1967. *Reprinted from Formalized Music: Thought
and Mathematics in Composition, (Bloomington, Indiana University Press, 1971)
with permission of the Publisher. 108 109 3 Hi.ndemil.h, Paul. The Craft of Musical
Composition. 2 vols. New York: Associated MusIc Publishers, 1942. 4 Risset;, Jean Claude. "An
Introductory Catalogue of Computer Synthesized Sounds. Unpublished. Murray
Hill, New Jersey: Bell Telephone Laboratories 1969. 110
' 5 Meyer-Epler, W. Grundlagen und
Anwendungen der Informations Theone. Berlin: Springer- Verlag, 1959. 6 Von Foerster, Heinz, and Beauchamp, James
W., eds. Alusic by Computers. New York: John Wiley and Sons, 1969. 7 Schaeffer, Pierre. Traite des obJets
musicaux: Essai interdisciplines. Paris: Editions du Seuil, 1966. 9 Feller, William. An Introduction to
Probability Theory and Its Appli·cations. 2 \'ols. New York: John Wiley and
Sons, 1966. lId 115 * In spite of this criticism I would like
to draw attention to the magnificent manipulatory language Music V of Max V.
Mathews, which achIeves the final step in this procedure and automates it .
II This language certainly represents the realization of the dream of an
electronic music composer in the fifties. III p L f i |
Uued ettepanekud heli
mikrostruktuuris Fourier’
seeriate põhiline tähtsus ja asjassepuutumatus Akustika
psühho-matemaatiline süsteem(1) on osa elastsetes keskkondades energia levimise
teooriast, milles nurgakiviks on ülemhelianalüüs. Sama süsteem leiab
praktilise vahendi elektronide vooluringi kavandamisel, milles seda on realiseeritud
ja kontrollitud. Tohutu raadio ja TV
ülekannete areng laiendas Fourier’ ülemhelianalüüsi vägagi laiadele ja
heterogeensetele valdkondadele. Teised, üsnagi kauged eriteooriad,
näiteks raku toimemehhanismid ning tõenäosus, leiavad Fourier’ seeriates vajaliku
toe. Muusika iidsed heliridade traditsioonid, nagu ka pillikeele ja vile toru
resonantsid, viivad samuti tsirkulaarsete funktsioonide ja nende
lineaarkombinatsioonideni.(2) Niisiis, iga katse
toota tehislikult heli, ei saa olla kavandatav väljaspool Fourier’ seeriatele
toetuva psühho-matemaatilise ning elektroonilise süsteemi raame. Tõeliselt
pikk tee, läbides pütaagorlaste akusmaatikat, näib rajanevat selle
loomulikule voolusängile. Muusikateoreetikud tuginevad oma teooriates
Fourier’le, rohkemal või vähemal määral otse, selleks et kaitsta väidet
tonaalse harmoonia loomulikkusest. Veelgi enam, uue 20.sajandi helikeele
taunijad tuginesid tonaalsuse defineerimisel oma väidetes elastsete kehade ja
keskkondade vibratsiooni teooriale, mis tähendab lõpuks Fourier’ analüüsi.
Aga nad tekitasid sellega paradoksi: kuigi nad soovisid hoida muusikat intuitiivsel
ja instinktiivsel alal, legitimeerimaks tonaalset universumi, kasutasid nad
ära füüsikalis-matemaatilisi argumente! Ülemhelianalüüsi ummik
ja mõned järeldused Meid sunnib erinevalt mõtlema
kaks peamist probleemi: 1.Ebaõnnestumine, kaitstes
uute keelte teooriat kooskõlas nende harmoonia, kontrapunktiga jne., niisiis väljakujunenud
tsirkulaarsete funktsioonide alusel. Näiteks, kuidas võime me
põhjendada sellist nüüdisinstrumentaal- või elektroakustilise muusika
harmoonilist konfiguratsiooni nagu helide pilv? Seega, harmooniline analüüs
oli lühises, vaatamata liigutavale katsele, nagu Hindemithi Schönbergi
süsteemi selgitused(3). Elu- ja helisündmused
tõrjuvad kõrvale traditsioonilisi väiteid, mida sellele vaatamata ikka veel
õpetatakse konservatooriumides (loomulikult rudimentaalselt). Seetõttu on loomulik
mõelda, et lõhestumine viimase kuuekümne aasta muusikas kaldub taas tõestama,
et muusika ja tema "reeglid" on sotsiaalkultuurilised ja ajalooliselt
kokku lepitud ning seetõttu muudetavad. Need kokkulepped näivad tuginevat
laias laastus a. meie meelte
absoluutsetele piiridele ja nende deformeerivale jõule (näiteks Fletcheri
kontuurid); b. meie vaimsete
struktuuride kontrollile, millest mõnda käsitleti eelnevas peatükis
(järjestamine, rühmad, jne.); c. heli tekitamise
vahenditele (orkestriinstrumendid, elektro-akustiline helisüntees,
analoogsüsteemide salvestamine ja muundamine, arvuti abil digitaalne
helisüntees ning digitaal-analoog konverterid). Muutes kasvõi üht
neist kolmest punktist, kipuvad muutuma ka meie sotsiaalkultuurilised
kokkulepped, vaatamata sotsiaalse tegelikkuse "entroopia" kaasasündinud
loomulikule inertsusele. 2. Ilmne
läbikukkumine, alates elektroonilise võnkuva vooluringi sünnist, mistahes
heli uuest tekitamisest, alates lihtsast helist kuni orkestriinstrumendini! a. Seda tõestavad trautooniumid,
thereminid ja martenot’, kõik Teise Maailmasõja eelsed üritused. b. Alates sõjast oli
kogu "elektrooniline" muusika samuti ebaõnnestunud, vaatamata
suurtele lootustele viiekümnendatel, mil elektro-akustiline muusika rebiti
välja oma hällist niinimetatud elektroonilist puhast heli tootvate
sagedusgeneraatorite tõttu. Iga ainult sellistele helidele põhinev
elektrooniline muusika on äratuntav oma lihtsakoelise kõla poolest, mis
sarnaneb raadio atmosfäärihäirete või kõrgsagedusgeneraatoriga. Seriaalne
süsteem, mida kasutati eriti palju elektroonilise muusika heliloojate poolt,
ei suutnud mitte igal juhul tulemust parandada, kuna see ise oli liiga
algeline. Ainult kui "puhtaid" elektroonilisi helisid raamiti
teiste "konkreetsete" helidega, mis olid palju rikkamad ja palju
huvitavamad (tänu E. Varese’le, Pierre Schaeffer’ile ja Pierre Henry’le),
muutus elektrooniline muusika tõeliselt võimsaks. c. Enamik seniseid
üritusi kasutada kaasaegse tehnoloogia vilju arvuteid koos konverteritega tõestab,
et vaatamata mõningasele edule(4), on kõlalised tulemused võrratult vähem
huvitavad, kui neid tehti kümme aastat tagasi klassikalises
elektro-akustilises stuudios sagedusgeneraatorite, filtrite, modulaatorite ja
kajaseadmete abil. Sellest kriitikast
tulenevalt, mis on nende ebaõnnestumiste põhjuseks? Minu meelest on selleks
mõned alljärgnevast: 1. Meyer-Eppleri
uuringud näitasid, et ka kõige lihtsamate orkestrihelide spektraalanalüüs
(mis moodustab juba eeldusena referentsiaalse süsteemi) näitab spektrijoonise
varieerumist niihästi sageduse kui ka amplituudi puhul. Need pisikesed
(teisejärgulised) muutused on aga olulised, tekitades erinevuse
sagedusgeneraatori tekitatud väljamõeldud heli ülemhelide elutu summa ning
orkestriinstrumendi poolt mängitud samade ülemhelide summa vahel. Need
tillukesed varieerumised, mis leiavad aset heli permanentses, statsionaarses
osas, nõuavad kindlasti uut lähenemisteooriat, teise funktsionaalse baasi ja
harmoonilise analüüsi kasutamist kõrgemal tasemel, näiteks stohhastilised
protsessid, Markovi ahelad, korrelatsioonis või autokorrelatsioonis seosed
või mudelite ja vormide tuvastamise tõestusi. Kui nii, siis orkestriheli
analüüsi teooria(6) vajab väga pikki ja keerulisi arvutusi, nii et kui me
peaksime simuleerima sellise orkestriheli arvuti ja harmoonilise analüüsi
esmasel tasandil, vajame me tohutut hulka arvutiaega, mis on hetkel võimatu. 2. Näib, et
transientne osa helist on tämbri tuvastamisel ja muusikas üldiselt kaugelt
olulisem kui permanentne osa(7). Niisiis, mida rohkem muusika liigub
"müralähedase" keeruka kõlavuse poole, seda olulisemaks ja keerulisemaks
muutub transientne, ning mida rohkem nende trigonometriliste funktsioonide
süntees tekitab mäe raskusi, seda aktsepteerimatumaks muutub arvuti jaoks
permanentne osa. See oleks kui mägede lookleva silueti kujutamine ringi osade
abil. Tegelikult on see tuhanded kordi keerulisem. Arukas kõrv on lõpmatult
nõudlik, ja tema informatsiooninälg on kaugel rahuldatust. Suure hulga arvutuste
probleem on võrreldav 19.sajandi klassikalise mehaanika probleemiga, mis
jõudis gaaside kineetilise teooriani. 3. Puudub ülemhelianalüüsist
sõltuv või sõltumatu mudelite ja vormide tuvastamise teooria, mis võimaldaks
meid tõlkida trigonomeetriliste funktsioonide abil sünteesitud kõveraid tajutavateks
vormideks või konfiguratsioonideks. Näiteks on hetkel võimatu defineerida
väga mitmekesiste ostsilloskobi kõverate ekvivalentsusklasse, mille kõrv
heidab samasse patta. Veelgi enam, kõrv ei tee vahet asjade vahel, mida
tegelik akustiline teooria eristab (näiteks faasi erinevus, diferentsiaalse
tundlikkuse võime) ning vastupidi. Lõpetatud elementide
kõrvutamise väärkontseptsioon Võib-olla
peitub nende probleemide põhiline põhjus mõistete ”lõplikkus” ja ”lõpmatus”
improviseeritud segaduses. Näiteks on sinusoidaalse ostsillatsiooni puhul
olemas ühikelement, valemis Tõenäolistele
jaotustele põhinevad uued ettepanekud mikrokompositsiooni jaoks Me tõstatasime
vasturääkivuse ning seda tehes me loodame avada uue tee mikrohelisünteesi
uurimisel -- pretendeerimata suuta simuleerida juba tuntud helisid, võiks
siiski viia muusikat, tema psühhofüsioloogiat ja akustikat suunas, mis on
üsna huvitav ja ootamatu. Selmet alustada
ühikelemendi kontseptsioonist ning selle väsimatust kordumisest ning selliste
korduvate ühikelementide kasvavast korrapäratust superpositsioonist, võime me
alustada korratuse kontseptsioonist ja seejärel esitleda vahendeid, mis seda
suurendaksid või vähendaksid. Otsekui öeldes, me kasutame vastupidist teed: Me ei soovi katkelisi
ühikelemente kasutades konstrueerida keerulisi kõlastruktuure (tellised =
siinus- või muid funktsioone); me soovime konstrueerida jätkuvalt
varieeruvaid kõlasid, mida ei valmistata ühikelementidest. Selle meetodi
puhul kasutatakse koheselt helirõhu stohhastilisi variante. Me võime ette
kujutada nondeterministlikul viisil ettearvamatult piki rõhukoordinaattelge
ümber tasakaalupositsiooni liikuvate osakeste toodetud rõhu variante.
Seetõttu võime me ette kujutada ka
teatud "juhuslikku trajektoori" või nende mitmekordse
kombinatsiooni kasutamist. Meetod 1. Iga
tõenäosusfunktsioon on eraldi stohhastiline variatsioon,
millel on oma personaalsus (osakeste personaalne käitumine). Me võime niisiis
kasutada neist igaüht. Nad võivad olla katkelised või jätkuvad; näiteks
Poissoni, eksponentsiaalne Meetod 2. Võib
sätestada juhusliku muutuja X kombinatsiooni iseendaga. Näide: kui Meetod 3. Juhuslik
muutuja (rõhk, aeg) võib olla teine, samuti juhusliku muutuja (elastsed jõud)
funktsiooniks. Näide: rõhumuutuja x on tsentrifugaal- või tsentripetaaljõu
kus x ja y on
vastavalt momentide 0 ja t muutujate väärtused. (Tuntud kui Ornstein-Uhlenbecki
protsess.) . Meetod 4. Juhuslik
muutuja liigub kahe peegeldava (elastse) barjääri vahel. Näide: Kui meil on
taas Wiener-Lévy protsess kahe peegeldava barjääriga a > 0 ning
null, siis selle juhusliku trajektoori tihedus oleks
kus x ja y on
vastavalt hetkede 0 ja t muutujate väärtused ning k = 0, ±1, ±2,... . Meetod 5.
Tõenäosusfunktsiooni parameetreid võib vaadelda kui teiste
tõenäosusfunktsioonide muutuja (randomisatsioonid, segud). Näited: a. t on Poissoni
distributsiooni
mis on geomeetriline distributsioon. b. p ja q on juhusliku
trajektoori tõenäosused hüppega ±1 (Bernoulli distributsioon). Suksessiivsete
hüpete vahelised ajavahemikud on juhuslikud muutujad tavalise tihedusega
on modifitseeritud
astme n esimest liiki Besseli funktsioon. Meetod 6. Lineaarne,
polünomiaalne,..., tõenäosusfunktsioonide
kombinatsioonid a. Kui A ja B
on mingi jooneintervallide paar ja b. Põimuvad tõenäosusdistributsioonid
(modulatsioon). Kui
või
või ükskõik millise kombinatsiooni
(funktsionaalse või stohhastilise) nende summadest ja tulemustest. Veelgi
enam, c. Subordinatsioon
[30]. Eeldadagem
(stohhastiline tuum
sõltumatu s-st) ja
kus Meetod 7.
Tõenäosusfunktsioone võib liigitada klassidesse, s.o. kõverate algsetesse
konfiguratsioonidesse. Need klassid on seejärel vaadeldavad kõrgema astme
hulkade elementidena. Liigitus on saavutatav vähemalt kolme tüüpi kriteeriumide
abil, mis võivad olla vastastikuses seoses: a. tuletatud
tõenäosusdistributsiooni analüütiline
allikas; gamma, beeta,..., ning suguluses olevad tihedused nagu vabadusastmel
n tihedus b. muu matemaatiline
kriteerium nagu stabiilsus, lõpmatu jagunevus, ning c. kõvera vormide
karakteersed omadused: tasemel 0, kus juhuslik muutuja väärtused on
aktsepteeritavad iseenesest; tasemel 1, kus neid väärtusi on akumuleeritud jne.
Makrokompositsioon Meetod 8. Meetodis 7
visandatud manipulatsioonid distributsiooniklassidega viivad meid edasi makrokompositsiooni alale. Kuid me ei soovi jätkata neid spekulatsioone,
kuna paljusid asju, mida käsitleti eelnevates peatükkides, võib kasutada
endastmõistetaval viisil viljakalt. Näiteks nimetatud helimolekule, mida on
toodetud ülalpooltoodud meetoditega, võib sisestada peatükis V toodud
makrostruktuure vormivasse sohhastikaprogrammi ST. Sama võib öelda peatükkide
II ja III kohta (Markovi protsessid makrotasandli). Mis puutub peatükkidesse
VI ja VIII (sümbolmuusika ja rühmaorganisatsioon), ei ole keerulise
mikroprogrammi loomine mitte väga, kuid see on täis rikkaid ja ootamatuid
võimalusi. Kõiki neid uusi ettepanekuid on uuritud Matemaaatika ja
Automatiseeritud Muusika Keskuses (CMAMu) ning Indiana Ülikooli Muusikakoolis
Bloomingtonis ning Prantsuse Kolled˛i Tuuma-uurimiskeskuses Pariisis. Kõigis neis
kohtades on kättesaadavad Näide
IX:1-8
olid kaalutletud ja sü˛ee at Uuring
Arvutamine Keskus of Indiana Ülikool all supen'ision of Cornelia Colyer.
Need graafik võima vastama heli vältus of 8 millisekund, ordinates olevus heli rõhk. IIMathews, Max V. Tehnoloogia of
Arvuti ll1usic.
Cambridge: M.LT, Press, 1969. tI2 ma 13 1 Stevens, S. S., ja Davis, H. Kuulmine. New York : John Wiley ja Poeg, 1948', Beranek, Lõvi L. Akustika. New York : ma\IcGraw-Hill, 1954. 2 Appelman, D. Ralph.
Teadus of
Hääleline Pedagoogika. Bloomington :'
Ülikool Press, 1967. *Uuesti trükkima from Formaliseeritud Muusika: Mõte ja
Matemaatika in Kompositsioon, (Bloomington, Indiana
Ülikool Press, 1971) koos luba of Kirjastaja.
108 109 3 Tere.ndemil.h,
Paul. Ametioskus of
Muusikaline Kompositsioon. 2 kd. New York : Seostama muusika Kirjastaja,
1942. 4 Risset;, Jean Claude.
" Sissejuhatav Kataloog of Arvuti
Sünteesima Heli. Avaldamata. Murray
Küngas, New Kampsun: Kell Telefon Laboratoorium 1969. 110
' 5 Meyer-Epler,
W. Grundlagen und Anwendungen der Informatsioon Theone. Berliin: Springer- Verlag, 1959. 6 Von Foerster,
Heinz, ja Beauchamp,
James W., toimetaja. Alusic kõrval Arvuti.
New York : John Wiley ja Poeg, 1969. 7 Schaeffer,
Pierre. Traite
de obJets musicaux:
Essai interdisciplines.
Pariis: Väljaanne du Seuil,
1966. 9 Nahk, William.
Sissejuhatus to Tõenäosusteooria ja
Oma Appli·katioon. 2 \'. New York : John Wiley
ja Poeg, 1966. kaas 115 f meid * Vaatamata see kriitika ma would meeldima tõmbama tähelepanu to võrratu manipulatory
keel Muusika V of Max V. Mathews, mis saavutama lõplik sekkuma see
protseduur ja automatiseerima see . II See
keel kindlasti esindama elluviimine of
unistama elektrooniline muusika helilooja in
viiekümnendad. III
p L |
, kus 
, kui 
, antud kui X = x) ja 
on 
, mis sõltub parameetrist x, kui 
tõenäosusdistributsioonid, siis me võime moodustada
, siis on tõenäosuste lakkamatu üleminekuga (transition)
Markovi protsess 
, mittenegatiivsete sõltumatute inkrementidega protsess.
Siis 
-le, kasutades operatsionaalset aega 
